此为本系列的第一篇，日后不定期更新，第一次写这方面的东西，表述可能不太清楚甚至有误，见谅

本文阅读难度较小，读者只需要学习过初中平面几何并且看得懂文字就可以轻松理解内容

几何无王者之道 —— 欧几里得

【资料图】

定义

定义1.平面上，与一定点、一定直线的距离相等的点所构成的轨迹，是抛物线(Parabola)

定义2.这个定点叫做焦点(Focus)

定义3.这个定直线叫做准线(Directrix)

定义4.一条曲线关于一条直线轴对称，这条直线叫做曲线的轴(Axis of symmetry)

定义5.曲线与它的轴的交点叫做顶点(Vertex)

定义5.一条曲线上，连接任意两点构造的直线叫做弦(Chord)

定义6.通过焦点的弦叫做焦点弦(Focus chord)

定义7.如果抛物线上两点轴对称，且两点的连线经过焦点，那么这个线段叫做正焦弦(Latus rectum)(亦称通径)

命题

命题1.三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例

如图，BE为△ABC外角的角平分线，那么有(AB / BC) = (AD / CD)

证明：

设∠CBD为α，∠ABC为β，∠CEB为θ

在△CBE中，由正弦定理得：

(sinα / sinθ) = (CE / BC)

同理 [sin(α+β) / sinθ] = (AE / AB)

不难得出 sin(α+β) = sinα

因此 (CE / BC) = (AE / AB)

整理得：

(AB / BC) = (AE / CE)

证毕

此命题逆命题同样成立

命题2.一抛物线上，一弦的延长线交于准线一点，连接此交点与此抛物线焦点，连接线段所在的射线平分关于弦的两端点与焦点构成的三角形的外角

如图，抛物线上有一弦HF（图中在动的点为H），其延长线交准线于点I，抛物线焦点为E，FE延长线交抛物线于点G，线段EI所在的射线平分外角∠GEH

证明：

过点F、H分别作准线垂线FJ、HK

容易证明△KHI∽△JFI

因此有：

(IH / IF) = (KH / JF)

又因为 HE = KH，FE = JF（定义1）

因此：

(IH / IF) = (HE / FE)

所以EI所在的射线平分∠GEH（命题1）

命题3.一条抛物线的正焦弦长度是此抛物线顶点到焦点距离的4倍

如图，顶点记为H,则有FG = 4HE

证明：

过F作准线垂线交于I

容易证明四边形IOEF为正方形

则 

OE = EF

因为 EH = OH，EH + OH = OE

因此，OE = 2HE = EF

又因为FE = EG（命题7）FE + EG = FG

因此，FG = 2FE = 4HE

证毕

命题4.一抛物线上一点，作这条抛物线的切线，切线与准线的交点与焦点构成的线段、切点与焦点构成的线段所在的两条射线的夹角为90°

证明：

仍然用命题2的图，可以看到图中运动的点不断靠近另一点时，外角也不断逼近180°

那么，当动点与“定点”的距离非常非常小的时候，角平分线所平分的角可以看作180°，那么命题也就成立了

如图，在此情况下还有 GF = FE，∠GHF = ∠EHF，全等可证，这里不作赘述了

以上为本文全部内容，第一次投稿，希望多多指教

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